Lien entre constante radioactive et temps de demi-vie

La loi de décroissance radioactive vérifiée par le nombre de noyaux de radio-isotope est :  \(N(t)=N_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t}\).

De plus, la définition du temps de demi-vie de ce radio-isotope nous donne `N(t_\text {1/2})=\frac{N_\text{0}}\text {2}`.

On a donc `N(t_\text {1/2})=N_\text {0}\times e^{ -\lambda\timest_\text {1/2} }=\frac{N_\text{0}}\text {2}` soit `e^{ -\lambda\timest_\text {1/2} }=\frac{1}\text {2}`.

Pour supprimer la fonction exponentielle à gauche de cette équation, on applique à cette égalité la fonction logarithme népérien : `\text {ln}(e^{ -\lambda\timest_\text {1/2} })=\text {ln}(\frac{1}\text {2})`.

On peut ainsi écrire `-\lambda\timest_\text {1/2} =-\text {ln}(2)`. On obtient alors la relation entre le temps de demi-vie et la constante radioactive d'un radio-isotope donné : `t_\text {1/2}=\frac{\text {ln}(2)}\{\lambda}`.

Remarque : on aurait pu obtenir la même expression avec la loi de décroissance radioactive vérifiée par l'activité d'un échantillon de noyaux de radio-isotope.

On retrouve bien le fait que le temps de demi-vie ne dépend que de la nature du radio-isotope, ce qui a pour conséquence que le nombre de noyaux de radio-isotope à un instant `t` est :

• divisé par deux au bout d'une durée égale à `t_"1/2"`
  
• divisé par quatre au bout de `2\timest_"1/2"`
  
• par huit au bout de `3\timest_"1/2"`
  
• par seize au bout de `4\timest_"1/2"` , etc.

Voici une représentation de ce résultat avec la courbe \(N=f(t_\text {1/2})\).